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Eine Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teil- in ihre Grundmenge einbettet.

• Definition

• Eigenschaften

• Weblinks

Für Mengen A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} mit A ⊆ ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ist die Inklusionsabbildung i : : A → → B {\displaystyle i\colon A\rightarrow B} durch die Abbildungsvorschrift

i ( x ) = x {\displaystyle i(x)=x}

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol ↪ ↪ {\displaystyle \hookrightarrow } zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann i : : A ↪ ↪ B {\displaystyle i\colon A\hookrightarrow B} .

Man spricht von einer echten Inklusion, falls A {\displaystyle A} eine echte Teilmenge von B {\displaystyle B} ist, das heißt, wenn es Elemente in B ∖ ∖ A {\displaystyle B\setminus A} gibt.

Im Fall mathematischer Strukturen ist die so definierte Abbildung einer Unterstruktur strukturtreu, d. h. ein Monomorphismus.

• Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.

• Ist A = B {\displaystyle A=B} , so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.

• Eine beliebige Funktion f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als f = h ∘ ∘ g {\displaystyle f=h\circ g} , wobei g {\displaystyle g} surjektiv und h {\displaystyle h} injektiv ist: Sei C = im ⁡ ⁡ f ⊆ ⊆ B {\displaystyle C=\operatorname {im} f\subseteq B} die Bildmenge von f {\displaystyle f} und g : : A → → C {\displaystyle g\colon A\to C} die Funktion, die auf A {\displaystyle A} mit f {\displaystyle f} übereinstimmt, also g ( x ) = f ( x ) {\displaystyle g(x)=f(x)} . Für h : : C → → B {\displaystyle h\colon C\to B} nimmt man die Inklusionsabbildung.

• Ist f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} eine beliebige Funktion und X {\displaystyle X} eine Teilmenge der Definitionsmenge A {\displaystyle A} , dann versteht man unter der Einschränkung f | X {\displaystyle f|_{X}} von f {\displaystyle f} auf X {\displaystyle X} diejenige Funktion g : : X → → B {\displaystyle g\colon X\to B} , die auf X {\displaystyle X} mit f {\displaystyle f} übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion i : : X → → A {\displaystyle i\colon X\to A} lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

f | X = f ∘ ∘ i {\displaystyle f|_{X}=f\circ i} .

• Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung i : : A ↪ ↪ B {\displaystyle i\colon A\hookrightarrow B} als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen: i = ( id B ) | A {\displaystyle i=\left(\operatorname {id} _{B}\right)|_{A}}

Wiktionary: Inklusion

– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Inclusion Map. In: MathWorld (englisch).

• Koro: Inclusion mapping. In: PlanetMath. (englisch)